Aminet 39

home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search

/ Aminet 39 / Aminet 39 (2000)(Schatztruhe)[!][Oct 2000].iso / Aminet / docs / mags / saku33d2.lha / Teksti / Cantor.txt < prev next >

Wrap

Text File | 2000-07-17 | 22.9 KB | 524 lines

12 1 -1 Cantor.IFF 0 0 0 Cantor.IFF 0 120 0 Cantor0.IFF 17 203 2 Cantor1.IFF 0 0 3 Cantor2.IFF 140 45 3 Cantor3.IFF 210 135 9 Cantor4.IFF 118 0 13 Cantor5.IFF 58 60* {D Zöözi kanttori {D -------------- Petri Keckman Edellisessä Sakussa artikkelissani "Suhtari" romutin nykyfysiikkaa. Tässä Sakus- sa romutan matematiikan perusteita. Painotan, että artikkelini täyttävät tie- teellisen ja loogisen pätevyyden, vaikka niissä on osittain pieni humoristinen perusvire - matematiikkakin voi olla hauskaa! Jos nykypäivän tieteilijät eivät artikkeleitani noteeraa, niin sen kyllä tulevat tekemään tulevaisuuden tietei- lijät. Tässä artikkelissa perustelen väitteitä, että R=Q ja että numeroituvuuden käsite on ristiriitainen. Ai mikä se on? Aloitetaan alusta: Sir Georg Cantor (1845-1918) loi välineis- tön ja käsitteet, joilla äärettömät joukot saatiin matema- tiikkaan. Äärettömien joukkojen teoriassa on käsite "numeroi- tuvuus" tärkeä. Jokin joukko X on numeroituva, jos se on "yhtä mahtava" kuin luonnollisten lukujen joukko N={0,1,2,... .}. Yhtä mahtava se taas on, jos - ja vain jos - löytyy yksi- käsitteinen kuvaus X:stä N:ään, jossa jokaiseen X:n alkioon voidaan liittää eri N:n alkio, siis luonnollinen luku, ja samoin jokaiseen N:n alkioon voidaan liittää yksikäsitteinen X:n alkio. Hienosti sanottuna kyseessä on bijektiivinen kuvaus. Numeroituvuus merkitsee sitä, että joukon X kaikki alkiot voidaan luetella jossakin järjestyksessä siten, että niihin jokaiseen liitetään eri järjestysnumero 0,1,2,... Voisi äkkiä ajatella että esimerkiksi murtolukujen joukko olisi "mahtavampi" kuin luonnollisten lukujen joukko, sillä voidaanhan kaikki luonnolliset luvut kuvata minkä tahansa kahden erisuuren murtoluvun a ja b väliin vaikkapa kuvauk- sella f(n)=b-(b-a)/(n+1). Josta siis f(0)=a ja f(n) lähestyy b:tä kun n lähestyy ääretöntä. f(0)=b-(b-a)/(0+1)=b-b+a=a ja f(99999999)=b+(b-a)/100000000. Esimer- kiksi jos a=1,2 ja b=1,3 saadaan: f(0)=1,200000 f(1)=1,250000 f(2)=1,266667 f(3)=1,275000 f(4)=1,280000 f(5)=1,283333 f(6)=1,285714 f(7)=1,287500 f(8)=1,288889 f(9)=1,290000 f(10)=1,290909 f(11)=1,291667 f(12)=1,292308 f(13)=1,292857 f(14)=1,293333 f(15)=1,293750 f(16)=1,294118 f(17)=1,294444 f(18)=1,294737 f(19)=1,295000 f(100)=1,299010 f(1000)=1,299900 f(10000)=1,299990 f(100000)=1,299999 Seuraavan sivun kuvassa on vielä esimerkin vuoksi tarkasteltu tilannetta kun a=18,3 ja b=18,8. Keskellä on kokonaislukuakseli, josta numerot 0..27 on kuvattu välille a..b. Alla on lueteltu lisää lukuja. a ja b voidaan valita siis mielivaltaisen läheltä toisiaan, ja tällaisia välejä mahtuu mihin tahansa kahden annetun luvun väliin vielä äärettömän monta, ja vaikka niiden pituus lukuakselilla voidaan saada mielivaltaisen lähelle nollaa, niin näihin kaikkiin väleihin erikseen voidaan kaikki luvut 0,1,2,... kuvata. Jokaisessa välissä "riittäisi siis lueteltavaa kaikille luonnollisille luvuille loppuelämäksi". Tuntuu oudolta, että kuitenkin on olemassa määritelmä "yhtä mah- tavuus", joka siis sanoo, että luonnollisten lukujen joukko N on yhtä mahtava kuin koko murtolukujen joukko Q, kun näyttäisi ilmeiseltä, että murtolukujen joukko Q on äärettömän monta kertaa "suurempi" kuin N. {F ----------> Joukkojen Q ja N "yhtämahtavuutta" perustellaan eräänlaisella luettelotempulla. Kaikki rationaaliluvut eli murtoluvut ovat siis määriteltävissä kahden luonnol- lisen luvun n ja m jakolaskuna eli osamääränä n/m. Q on niiden alkioiden n/m joukko, missä n ja m kuuluvat N:ään. Tehdään kaksiulotteinen taulukko, jossa ri- veittäin kasvaa n ja sarakkeittain m. Annetaan nyt jokaiselle murtoluvulle järjestys- numero siten, että luvut luetellaan vinottain: Jokaiseen annettuun murtolukuun n/m voidaan näin liittää yksi ja määrätty luon- nollinen luku. Sivuutan tässä nyt negatiiviset luvut, sillä ne voidaan lisätä luetteloon muodostamalla toinen samanlainen taulukko ja ottamalla joka toisen luvun sieltä. Murtolukujen joukossa samaistetaan luvut, jotka ovat muotoa (i*n)/(i*m) ja n/m. Esimerkiksi kaikki vinoakselilla n,n olevat luvut 1/1, 2/2, ... ovat samat kuin 1, joista vain ensimmäinen 1/1 otetaan ja muut pyyhitään yli. Samoin 6/2 = 3/1 jne... Näihin jokaiseen on kuitenkin liitetty luonnollinen luku. Luonnollisia lukuja pitäisi olla siis "niin paljon enemmän", että niitä on varaa tuhlata ylimääräisten numerointiin, vaikka edellä vähän jo perustelin, miksi niitä on äärettömän monta kertaa vähemmän. Vaikka murtoluvut voidaan Cantorin ja nykymatemaatikoiden mielestä luetella, niin reaalilukuja - joihin kuuluvat myös päättymättömät desimaalikehitelmät ku- ten 0,1234567891011121314..., pii=3,141592643589 jne. ei sentään voida. Heidän todistuksensa on seuraavanlainen (perustuu vastaväitteeseen): oletetaan, että kaikki reaaliluvut väliltä 0...1 (edes tältä väliltä) voitaisiin luetella jossakin järjestyksessä, esimerkiksi: I: r(0)=0,89737775667080080857467873875759757587462856567674... r(1)=0,5767747387376876764474874476086083348685378588860868... r(2)=0,567800000000000000000000000000000000000000000000000000 r(3)=0,45466745453679885796799779767766796708204820099599496... Konstruoidaan nyt luku r siten, että käydään listaa läpi ja jokaisen luvun r(n) kohdalla lisätään r:ään luvun r(n) n:s desimaali siten, että siihen lisätään 1. Jos luvun r(n) n:s desimaalinumero on 3, laitetaan r:ään 4. 9:stä laitetaan 0. Luvun r alku näyttää siis: 0,9887... r(0)=0,89737 | 8+1=_9_ r(1)=0,57677 | 7+1=_8_ r(2)=0,56780 | 7+1=_8_ r(3)=0,45466 | 6+1=_7_ Luku r tulee siis eroamaan kaikista luetelluista luvuista, koska se eroaa niistä jokaisesta ainakin yhdellä desimaalilla. Koskaan ei tiedetä, voisiko luvun r(n) kohdalla konstruoitu luku r olla kuitenkin jo seuraava, mutta seuraavan luvun kohdalla jatketaan luvun r konstruointia siten, että se eroaa kaikista jo lue- telluista luvuista. Kuinka tämä eroaisi siitä, että todistettaisiin, ettei edes luonnollisia lukuja voida luetella missään järjestyksessä vastaavalla tavalla? Oletetaan, että luonnolliset luvut voitaisiin luetella jossakin järjestyksessä. f(0)=0 f(1)=5453533 f(2)=5367568797 f(3)=1 Yleensähän luonnolliset luvut luetellaan suuruusjärjestyksessä 0,1,2,... mutta tässä nyt oletetaan, että ne olisi voitu edes jossakin järjestyksessä luetella. Konstruoidaan nyt luku i siten, että aina luvun f(n) kohdalla siihen lisätään f(n)+1. Aluksi i on siis 0 ja siihen lisätään f(0):n kohdalla f(0)+1. Saadaan f(0)=0 i=0+1=1 f(1)=5453533 i=1+5453533+1=5453535 f(2)=5367568797 i=5453535+5367568797+1=5373022332 f(3)=1 i=5373022332+1=5373022333 Luku i eroaa varmasti kaikista jo luetelluista luvuista, onhan se niitä kaikkia suurempi. Siis luonnollisia lukuja ei voida luetella? Samoin kuin ei reaaliluku- ja. Vai miten tämä eroaa todistuksesta, jossa todistettiin että reaalilukuja ei voida luetella? Jos yrität selittää jotain, että reaalilukuja koskevassa todis- tuksessa ollaan jo etukäteen varmoja, että konstruoitua lukua ei tule olemaan luettelossa, kun taas esimerkiksi lueteltaessa luonnollisia lukuja ihan tavalli- sessa suuruusjärjestyksessä, ollaan varmoja, että mille tahansa luvulle n löytyy siitä paikka - se on nimittäin n:ntenä luettelossa - niin se ei päde. Sillä voi- daanhan reaalilukuja yrittää luetella toisella tavalla: aina luvun r(n) kohdalla konstruoitu luku r siirretään seuraavaksi ja sitä seuraavia yhden pykälän eteenpäin. Siis edellisen yrityksen I tapa luetella reaalilukuja muutetaan seuraavanlaisek- si: II: r(0)=0,89737775667080080857467873875759757587462856567674... r(1)=0,9 r(2)=0,5767747387376876764474874476086083348685378588860868... r(3)=0,98 r(4)=0,567800000000000000000000000000000000000000000000000000 r(5)=0,988 r(6)=0,45466745453679885796799779767766796708204820099599496... r(7)=0,9887 Tässä luettelossa on nyt tilanne jokaisen luvun kohdalla sellainen, että vaikka kuinka yritetään konstruoida desimaalilukua, jota ei voida luetella, niin se änkeää itsensä heti seuraavaksi. Ihan sama kuin jos luonnollisia lukuja luetel- taessa konstruoitaisiin jokaisen luvun kohdalla n luku n+1 ja todistetaan, ettei luonnollisia lukuja voida luetella, koska jokaisen luvun kohdalla on konstruoi- tavissa luku, joka ei ole esiintynyt listassa. Tällä asialla on nyt artikkelis- sani sellainen painoarvo, että jos matemaatikot eivät tähän reagoi ja vastaa, missä teen päättelyssäni virheen, niin samoin kuin katson edellisessä Sakussa kumonneeni suhteellisuusteorian, niin nyt katson kumonneeni matematiikan perus- teet, ellei tähän vastata (koska ei voida vastata muuta kuin väärin perustein). Luonnollisia lukuja lueteltaessa ovat täsmälleen samat ehdot voimassa kuin ta- vassa yrittää luetella desimaalilukuja väliltä 0...1 todistettaessa ettei niin voi tehdä. 1) Jokaisen luvun kohdalla konstruoidaan luku, jota ei ole ollut listassa. 2) Siis, pääteltiin, että on olemassa luku, joka ei ole listassa. 3) Luetteloa muodostettaessa siitä ei kuitenkaan tiedetä muuta kuin että se ei ole esiintynyt vielä (ja yllä olevassa tavassa II sehän aina esiintyy jo seu- raavana myös desimaaliluvuilla). Mikä on se matemaattisen tarkasti ilmaistavissa oleva ero? Matemaatikoilta ha- luaisin kysyä tätä. Tosin matemaatikot eivät ikävä kyllä lue Sakua, kuten eivät ilmeisesti fyysikotkaan, sillä muutenhan he olisivat jo teilanneet edellisessä Sakussa olleen artikkelini? Matematiikanhan väitetään olevan tarkkaa ja eksaktia, eikä siinä saisi pitäytyä mihinkään "musta tuntuu" -todistuksiin. Kyllä minustakin tuntuu, ettei reaalilu- kuja voida luetella, mutta minusta tuntuu myös, ettei rationaalilukuja voida liittää yksikäsitteisesti luonnollisiin lukuihin. Ja itse asiassa minusta tun- tuu, ettei edes luonnollisia lukuja voida luetella - tai ainakaan niitä ei voida luetella samasta syystä ja samanlaisen todistuksen perusteella kuin desimaalilu- kuja. Palataan rationaalilukujen luettelointiyritykseen taulukkotempulla, josta muuten voidaan todeta, että käsittääkseni mitään suoraa lauseketta ei ole olemassa mur- toluvun liittämiseen luonnolliseen, vaan se täytyy aina algoritmillisesti konst- ruoida. Jos ei tarvitsisi pyyhkiä yli supistetussa muodossaan olevan luvun usei- ta esiintymisiä, niin sitten lukuun n/m liitetty järjestysnumero i olisi helpos- ti laskettavissa: i=(n-1)(n/2)+(n-1)(m-1)+m(m-1)/2. Tosin tämä lauseke pätee, jos lukuja luetellaan aina oikealta ylhäältä vasemmalle alaspäin eikä vuorotel- len, mutta vastaavanlainen lauseke jossa esiintyisi tekijänä mod(2) saataisiin tässä käytetylle siksak-luetteloinnille. Mutta koska näin ei voida tehdä, ja eri murtolukujen samat supistetut esitysmuo- dot samaistetaan, ei ole olemassa lausekkeellista bijektiivistä kuvausta N->Q. Meillä on siis vain käytäntö ja äärelliset tietokoneet murtolukujen liittämiseen luonnollisiin lukuihin. Seuraavalla sivulla olevan kuvan soluissa alkioina olevat luvut ovat: 1) ylimpänä rivi- ja sarakenumeroa vastaava i/j 2) sen suora järjestysnumero 3) ylipyyhittyjen perusteella saatu uusi järjestysnumero 4) suurimman yhteisen tekijän supistuksen jälkeen saatu (i/j) supistettuna syt:llä Mitä kauemmaksi luettelossa mennään, sitä suu- remmaksi tulee ylipyyhittyjen murtolukujen mää- rä suhteessa kaikkiin osamääriin. Ensimmäinen ylipyyhitty on siis 2/2, joka on viides lueteltu luku. Miljoonannen luvun kohdalla ylipyyhittyjä on 39,1196 %. {F ----------> ruudun suora sieven- rivi/ sieven- sievennetyt 1000:n järjestys- nettyjä sarake netty /kaikki otanta numero 1 0 1/1 1/1 0,000000 2 0 1/2 1/2 0,000000 3 0 2/1 2/1 0,000000 4 0 3/1 3/1 0,000000 5 1 2/2 1/1 0,200000 6 1 1/3 1/3 0,166667 7 1 1/4 1/4 0,142857 8 1 2/3 2/3 0,125000 9 1 3/2 3/2 0,111111 10 1 4/1 4/1 0,100000 11 1 5/1 5/1 0,090909 12 2 4/2 2/1 0,166667 13 3 3/3 1/1 0,230769 14 4 2/4 1/2 0,285714 15 4 1/5 1/5 0,266667 16 4 1/6 1/6 0,250000 17 4 2/5 2/5 0,235294 18 4 3/4 3/4 0,222222 19 4 4/3 4/3 0,210526 100 32 9/6 3/2 0,320000 1000 368 36/10 18/5 0,368000 0,382000 (1000-2000) 10000 3845 12/130 6/65 0,384500 0,365000 100000 38990 129/319 129/319 0,389900 0,383000 1000000 391196 1009/406 1009/406 0,391196 0,481000 10000000 3918075 2844/1629 316/181 0,391808 0,437000 100000000 39196810 8989/5154 8989/5154 0,391968 Lukujen luettelointijärjestyksestä johtuu, että jos luku yleensäkään voidaan sieventää, sen sievennetty versio on jo lueteltu, sillä luku i/j esiintyy luet- telossa aina ennen lukua n*i/n*j. Tämä ylipyyhittyjen määrän kasvu ei ole niin oleellista, mutta onpahan vain artikkelissa mukana, kun tietokoneella ja luvuil- la leikkiminen on niin hauskaa. Mutta seuraava asia on (oleellinen): Kun tarkastellaan murtolukuun n/m liitettyä järjestyslukua (suoraa tai supiste- tut huomioiden) ja verrataan sitä suurimpaan taulukossa esiintyneeseen murtolu- kuun n/m listaamalla niitä alusta hieman...: suora oikea suurin suhde järjestys- järjestys- arvo luku luku 1 1 1 1,000000 2 2 1 0,500000 3 3 2 0,666667 4 4 3 0,750000 5 4 3 0,750000 6 5 3 0,600000 7 6 3 0,500000 8 7 3 0,428571 9 8 3 0,375000 10 9 4 0,444444 20 16 5 0,312500 30 23 7 0,304348 100 68 13 0,191176 200 133 19 0,142857 300 199 24 0,120603 1000 632 45 0,071203 2000 1251 63 0,050360 3000 1854 77 0,041532 10000 6155 141 0,022908 20000 12297 199 0,016183 30000 18379 245 0,013330 100000 61010 447 0,007327 200000 122030 631 0,005171 300000 182973 775 0,004236 1000000 608804 1413 0,002321 2000000 1217203 1999 0,001642 3000000 1825275 2449 0,001342 10000000 6081925 4471 0,000735 20000000 12162604 6325 0,000520 30000000 18242397 7745 0,000425 ...havaitaan, että järjestysluku kasvaa huomattavan nopeasti ja on jokaisella vinorivillä suurempi kuin mikään sillä esiintyvä murtoluku, johon se on liitet- ty. Suurin murtoluku joka sijaitsee vinorivillä (ks. seuraava kuva alla), jolla sijaitsee luku n/m on ensimmäisellä sarakkeella sijaitseva (n+m-1), ja suurin suorista järjestysluvuista, jotka ylipäätänsä voidaan laskea, on (n+m-1)*(n+m)/2 ja näiden suhde 2/(n+m) lähestyy nollaa kun n+m kasvaa. Luonnollisten lukujen joukko on kuitenkin murtolukujen aito osajoukko ja kaikil- le luonnollisillekin luvuille löytyy järjestysnumero. Varmasti jokaisella luon- nollisella luvulla n on paikkansa taulukossa, onhan se n/1 ja esiintyy siis n:n rivin ensimmäisessä sarakkeessa. Mutta tästä huolimatta jokaisen vinorivin koh- dalla voidaan konstruoida n kappaletta lukuja - nimittäin kaikki järjestysluvut - jotka eivät ole esiintyneet vielä listassa. Siis järjestysluvuille ei ole vielä löytynyt järjestyslukua. Eikö tilanne muistuta taas samaa tapaa, jolla Cantor todisti, ettei reaalilukuja voida luetella? Varsinkin kun korostetaan sitä, ettei ole olemassa matemaattista lauseketta lukuun n/m liitetylle järjestysluvulle, koska ei tiedetä, kuinka mon- ta sitä ennen on pyyhitty yli. Tai jos ylipyyhityt jätetään vain noteeraamatta eli luonnollisia lukuja "tuhlataan" ylimääräisten luettelointiin, niin sitten on lauseke (n-1)(n/2)+(n-1)(m-1)+m(m-1)/2, joka liittää murtolukuun n/m sen järjes- tysluvun. Järjestysluku voidaan muuten päätellä pinta-aloja tarkastelemalla. Päätellään yllä olevasta kuvasta esim. ruudun 7/6 suora järjestysnumero. Koko eri väreillä väritetyn neliöosan pinta-ala on 12*12=(7+6-1)*(7+6-1). Siitä vähennetään alem- man puolikkaan pinta-ala (12*11)/2 - joka voidaan päätellä siitä, että sarjan 1+2+...+n summa on (n+1)*(n/2) (Gaussin summa: ensimmäinen + viimeinen, toinen plus tokavika,.. niiden kaikkien arvo on n+1 ja niitä on n/2 kappaletta) - ja lisätään joko 7 tai 6 riippuen siitä, kumpaan suuntaan ollaan luettelemassa vi- noriviä, jolla 7/6 sijaitsee. Ilmeisesti 7, koska (7+6) mod 2 = 1. Siis n/m:n suora järjestysnumeron on päätelty olevan (n+m-1)(n+m-1)-(n+m-2)(n+m-1)/2 johon lisätään joko n tai m riippuen siitä kumpaan suuntaan ollaan kuljettu eli lau- sekkeena esim.:((n+m) mod 2)(n+m)-m ja lauseke olisi muodossa (n+m-1)(n+m-1)-(n+m-2)(n+m-1)/2+n, jos vinorivejä kuljettaisiin aina samaan suuntaan, ja sieventyisi yllä antamaani muotoon. Mitä haluan tarkasteluillani sanoa? Väittääkö, että taulukosta puuttuu jokin murtoluku n/m? Ei, sitä en halua sanoa ainakaan jos minun pitäisi kertoa, mikä luku siitä puuttuu, mutta ei siitä seuraa, että numeroitavuuden käsite olisi järkevä tai että Cantorin todistukset olisivat sitä tai että koko äärettömän käsitteessä olisi mieltä. Jos N:ään kelpuutetaan kaikki luvut n+1 jos n kuuluu N:ään, niin samoin kaikki murtoluvut muotoa a+1/n kelpuutetaan Q:hun jos a kuu- luu Q:hun. Tästä seuraisikin, että reaaliluvut kuuluisivat Q:hun, sillä ne on määritelty rationaalilukujen päättymättöminä sarjoina. Esim. pii voidaan esittää muodossa pii=1-1/3+1/5-1/7+..., joka kuuluisi murtolukuihin samoin kun kaikki luvut n+1 kuuluvat aina N:ään jos n kuuluu N:ään. Äärettömän käsitteeseen on matematiikassa törmätty raja-arvoja määrittelemällä. En tiedä, kuinka matemaatikot suhtautuvat esim. luvun 33333.../111111... raja- arvoon. Sehän on ilmiselvästi kolme. Tässä vain käytetään äärettömän pitkiä lu- kuja. Kuuluvatko ne N:ään? Jos eivät, niin millä perusteella? N:äänhän kuuluvat kaikki muotoa n+1 olevat luvut, jos n kuuluu N:ään. Ja luku 333333... voidaan määritellä äärettömänä summana 3+30+300+3000+... joka kuuluu N:ään, vaikka ter- mejä olisi - ja kun niitä on - äärettömän monta. Tätä kautta N saataisiinkin yhtä mahtavaksi kuin R, jos luvuiksi kelpuutetaan äärettömän pitkät. Jos ei kel- puuteta, niin miksi muuten ylipäätänsä leikitään äärettömillä luvuilla, kun kaikki reaalinen on äärellistä (paitsi ehkä aika - paitsi ihmiselämälle)? Rationaalilukujen luettelotempusta totean vielä: Esitin jo taulukkoluetteloon liittyen funktion F(n,m), jolla liitettiin rationaalilukuun (n/m) sen luonnolli- nen "luetteloluku" i = (n+1)(n/2) + (n-1)(m-1) + m(m-1)/2. Löytyykö tälle sel- keää käänteiskuvausta ts. kahta lauseketta f(i) ja g(i), joilla luonnollisesta luvusta i saataisiin selville sitä vastaava murtoluku f(i) / g(i) = n / m, ilman että se täytyy laskea tietokoneella? Totesin, että siinä tapauksessa, että yli- pyyhityt luvut huomioidaan, sitä ei voida laskea suoraan vaan se täytyy algorit- millisesti tutkia. Sinänsähän se on yksikäsitteisesti määrätty. Mutta jos yli- pyyhittyjä ei huomioida - tai siis ei poisteta ollenkaan, niin suora yhtälö järjestyslukua i vastaavalle murtoluvulle löytyy. Siis meillä ovat voimassa yhtälöt: 1: i = F(n,m) = (n-1)(n/2)+(n-1)(m-1)+m(m-1)/2 (tämän yhtälön 1: siis johdimme jo ylempänä pinta-aloja tarkastelemalla) 2: F(1,n+m-1) = m(m-1)/2 (vinorivin ensimmäinen alkio) 3: F(n+m-1,1) = n(n-1)/2 (vinorivin viimeinen alkio) Toisaalta kuviota tarkastelemalla voidaan todeta: n = i-m(m-1)/2 ja m = n(n-1)/2 - i + 1 Josta m:lle toiseen asteen yhtälön ratk.: m = 1/2+-sqrt(1/4+2(i-n))/(-i) ja m = n*n/2 - n/2 - i+1 Siis: m = n*n/2 - n/2 - i+1 = 1/2+-sqrt(1/4+2(i-n))/(-i) Tästä saadaan n:lle 4. asteen yhtälö, josta se voidaan ratkaista i:n suhteen ja sijoitetaan ratkaisu 1:een, josta ratkaistaan m i:n suhteen. Siis m/n on rat- kaistavissa lausekkeellisesti järjestysluvusta i. Eli vaikka osittain saadaankin analyyttinen bijektio aikaiseksi myöskin N -> Q, (paitsi että tässä nyt taas jätetään huomioimatta se että Q:ssa luku n/m=(i*n)/(i*m) ja siis ylipyyhintää ei tehdä) mutta silti, yhtämahtavuuden määrittelyssä, tai koko äärettömyyden käsitteessä ei ole mieltä. Maalijoukko täytyy määritellä siten, että kaikkien niiden alkioiden, jotka ovat kuvattuja Q:sta N:ään, täytyy myös olla kuvauksen N -> Q lähtöjoukossa. Ja tämä on mahdotonta, sillä aina kun otetaan uusi N:n alkio käyttöön, niin sekin pitäisi pystyä kuvaamaan, mutta sille kuvausta etsittäessä joudutaan ottamaan yhä uudempia ja aina vain isompia N:n alkiota käyttöön. Äärettömyyttä täytyy tarkastella siten, että mitä tapahtuu maali- ja kuvajoukoille siinä tilanteessa kun niitä alkioita "luetellaan". Jos väitetään, että näin ei ole, niin sitten meidän täytyisi hyväksyä myös se, että Q on yhtä mahtava kuin R. Koska reaaliluvut ovat määriteltyjä rationaalilu- kujen päättymättöminä sarjojen summina. Jos tarkastellaan käsitettä kaikki reaa- liluvut (johon siis kuuluvat rationaali- ja irrationaaliluvut) ja käsitettä koko rationaalilukujen joukko, niin täytyyhän tähän hyväksyä myös kaikki siihen kuu- luvat vaikka äärettömän pitkätkin sarjat. Ja koska ne ovat sellaisiksi määritel- tyjä (reaaliluvut), niin ne kuuluvat Q:hun. Koska jos luku a on rationaaliluku niin luku a+b on rationaaliluku. Yhtä hyvin kuin jos n on luonnollinen luku, niin n+1 on luonnollinen luku, aina. Yhtä hyvin kuin hyväksymme kuinka suuren luvun tahansa äärettömän suureen luon- nollisten lukujen joukkoon N, niin meidän on hyväksyttävä äärettömän pitkät ra- tionaalilukujen summat (a+b+...) joukkoon Q. siis Q = R. Artikkeliin kuuluvilla C-kielisillä oheisohjelmilla canttori1.exe ja cantto- ri2.exe voidaan tuottaa artikkelissa käytettyjä kuvia. canttori2.exelle voidaan antaa parametriksi joko 1, 2 tai 3. Lisäksi pari muuta ohjelmaa, joilla lista- taan lukuja. Kaikki löytyvät Ohjelmat-hakemistosta. Kirjoittajan tavoittaa sähköpostitse osoitteesta keckman@mbnet.fi.